円パイプを45度の角度で切断する型紙を作成する数学的方法

 動画などで、円パイプを90度の角度で接合するために斜めに切る型紙の作成の方法がアップされている。確かにその方法で作成すれば切断した両方を繋げば90度で繋ぐことができる。ただ、それは通常考えるパイプを45度で切断したものの両方を90度で接合するものとは違うとお思える。なぜなら、その型紙には直線部分があり、また、曲線部分は斜めの楕円ではなく、元々のパイプの円を使っているからである。この方法は、実用的であり優れているが、元々誰もが考えるパイプを45度で切断して接合することとは異なっている。

そこで、ここでは、数学的に、45度で切断するための型紙を数学的に制作する方法を考えてみた。

45度に切断された半径Rのパイプを上むきに縦に置いてあるとしよう。水平にXY座標がありその好転が、ちょうどパイプの真ん中にあるとする。その上向きにZ軸が伸びているとする。Z軸の0点は、45度のパイプの切断面が一番下になる場所とする。そして、切断面は全体としてY軸の正の向きにひらけているとする。

その時、次の３つの側面図が描ける。

最初の図（図Aとする）は、切断面をY軸の正の方向から見たものである。そこに開いた切断面Tは、円形をしている。そうでなければ、直角になった一方のパイプを接合することはできない。直角で接合しない場合、Y軸方向から見ると正円にならず、X方向につぶれた楕円になるだろうが、それはまたいずれ調べることにする。

第２図（図Bとする）は、パイプを上部、Z軸のプラスの側から見た側面図である。切断面Tの形は、パイプそのものの形、円になる。

第３図（図Cとする）は、パイプをX軸のせいの側から見たものである。切断面Tは、45度に傾いた線として現れる。

切り口上にある点pを調べよう。なお、原点は常にOと表示する。

まず、この点pが、図Aのように真上から見て、ラジアンで表された角度$\theta$だけ回転した位置だっとしよう。この場合、pのZ軸上の高さzとの関係を調べてみよう。

図BからpをY軸上に垂直に投影した点をqとすると、Oqの長さは、

$Oq=R cos\theta$

と表すことができる。一方図CでOqは、斜線が45度であることを前提すればOqとz Sは等しい長さである。O Sは半径Rに等しいので、結局Oz、同じ意味で座標zは、

$z=R-Oq$

と表せる。したがって、先の式を代入すると、

$z=R(1-cos\theta)$　（１）

となり、zと$\theta$の関係を求めることができた。

次に、この円筒が紙だとしてy=Rの線で縦に切って、それを平面に広げた展開図を考えてみよう。仮に以下の図を書いてみた。

ここで、高さzの時に、展開図のmがどう表されるかが、分かれば45度切断の展開図が数学的に求められたことになる。このmは、図Bにおけるpvwをつなぐ部分円弧の長さに他ならない。それは、半円upvwから円弧upを差し引いたものである。角度はラジアンで表現されているの弧upは角度$\theta R$である。したがって、mは次のようになる。

$m = \pi R - \theta R = (\pi  - \theta) R$　（２）

である。（１）式と（２）指揮を連立させ、$\theta$ を消去させれば、mとzの関係を求めることができる。

これを数値的に解くと、以下のように型紙の半分を得ることができる。

向かい風によってドローンの頭が上げるpitching moment に関する論文を読む

 Reduction of the head-up pitching moment of small quad-rotor unmanned aerial vehicles in uniform flow (2018, Hikaru Otsuka, Daisuke Sasaki and Keiji Nagatani, International Journal of Micro Air Vehicles 10-1)

https://journals.sagepub.com/doi/epub/10.1177/1756829317745318

という論文を読んだ。中身は、飛行体に対して向かい風が吹いてきた時に発生するpitch方向のhead up不安定性がドローンのローターの傾きを変えた時にどうなるかを調べている。

さまざまな実験を行った結果として、結論的に、モーターの向きを外側に向けて開くことによってその不安定性を低減できると主張している。

"Based on the experimental results, we conclude that rotor tilting to the outer side reduces pitching moment generation."

私の書いた前の記事の議論と整合的であるので嬉しい。

モーター平面をV型（inward tilt）にするとドローンの安定性は増大するか？

 概要

ドローンのモーター平面をV型に傾けるとより安定するといわれているようだが、理論的には、逆Vにした方が安定することを示す。

本文

あるYouTube動画を見ていたら、モーター平面を内側に傾ける（inward tiltというらしい）とドローンの安定性は増すのだという説明があった。聞いた一瞬はとても納得して、既存の大型のドローンのモーター平面がそうなっている理由がわかった気がした。しかし、理論的に考えて、本当にそうなのかと思った。

自分なりに考えてみた結果一概にそんなことは言えないような気がした。その理由を説明しよう。

図を見て考えみよう。単純化して、AOBで表されるのが、ドローンの機体を一方向から見た状況だと考えよう。機体の垂直方向は、Vで機体は右に少し回転した状態で、傾いている。モーターの平面は、内側に折れるように傾いていて、その傾き角度はβである。

両翼の長さは、それぞれ$l$である。

この状態で、復元力が、このモーター平面の傾きによって発生すれば良いわけである。

面倒なので、一番単純に考えてみる。

（１）機体の中心Oは、固定されている。ただし、自由に画面と水平に回転できる。

（２）機体の片側の重さ$m$は、モーターの場所に集約されている。

（３）モータの上昇力、スラスト$t$は、重さで測られ片側の重さと釣り合っている。

すなわち、 $$t=m$$ である。

今、A点における力のバランスを見てみよう。

動画では、復元力が発生する理由を、A点では、傾いているせいで、そこにかかる重力に比べて、上昇力が $$t\cos\beta<t=m$$ となってしまっていて、下向きの力が大きくなっているからだと説明していた。

だが、それは、傾いているが故に発生する右向きの力を無視している。さらにmが働いている腕の長さも短くなってしまっていることを忘れているのではないだろうか。

そこで、A点において、左向きに回転する力（傾きを復元しようとする力）と、右向きに回ろうとする力（傾きをさらに増大させようとする力）のバランスを調べてみよう。

左向きに回転しようとする力と、腕の長さを掛け合わせたトルクは、

$$(m-t\cos\beta)l\cos\beta$$

である。

一方、さらに右向きに回転しようとするトルクは、

$$t\sin\beta l\sin\beta$$

である、

左向きの回転力から右向きの回転力を差し引く

$$(m-t\cos\beta)l\cos\beta-t\sin\beta l\sin\beta$$

$$= ml\cos\beta-tl\cos^{2}\beta -tl\sin^{2}\beta$$

$$= ml\cos\beta-tl$$

$$= l(m\cos\beta -t)$$

$$= lm(\cos\beta-1)$$

$$< 0$$

（ただし、ここで$t = m$を使っている）

この結果は、安定化するどころか、不安定性を増加させるという結論だ。

どこか、考え方が間違っているだろうか？

簡単な練習問題になるが、モーター平面が、逆に、下に開いたVの形をしていると、安定性が増すようなバランスになることがわかる。式の変形はそのままで良い。ただ、下向きの場合は上の式が負になるのは、復元力が働く、右回転することを意味するからだ。

ここで、もしかすると今までの議論が、ドローンの腕そのものが傾いていることに依存しているのではないかと疑問が湧いてきたので、さらに調べてみた。

次の図のように、腕そのものは傾いていず、まっすぐで、モーターだけが傾いている状況を考えてみよう。

今、モーターの傾きは、$\alpha$で、機体が$\beta$だけ傾いている状況を考えてみよう。他、腕がまっすぐになった以外は、前と同様の条件である。

次のような単純化を行おう。

（１）モーターの傾きと、機体の傾きがちょうど同じになった状態を考慮する

（２）その状態で、B点のスラストと重さのバランスは釣り合っている。すなわち相変わらず、$t=m$を想定する。

この状態で、左回転のトルクが発生すれば復元力があることになる。

ただ、これは計算をするまでもなく、先の機体の腕が傾いている状況の分析で$\beta$を$2\beta$にしただけで、計算過程は同じである。従って、結論も同じである。

機体の傾きが、前のモデルと同じでも、モーターが傾いているだけ、不安定性は増す可能性がある。また、逆向きにモーターが傾いていると、安定性は増加する。

3号機、ホバリングのログ解析

 3号機のホバリングの様子は、以下のYoutubeに投稿した。

https://youtu.be/ZYVSvt3-ws4

3回、試みているが、それぞれ様子が違う。ログを見てみる。まず、コントローラーから送っているスロットル値とPID制御によって与えられたスロットル値の様子は、以下のようになっている。

1回目は、全体が安定しているが、2回目と3回目は、後半が不安定になっている。

1回目の離陸では、1600くらい、80％で離陸している。そして、PID制御によるスロットルの変動の最大幅は、400前後である。合計すれば2000前後である。スロットルの最大値は、2047だからぎりぎりなのである。

次のグラフは、機体の傾き、ROLLとPITCHの様子と、PID制御のスロットル値の様子が、2回目と3回目は、機体の傾きに対して、極端なPID制御値が必要になってい。ので無理が表れている。

これでは見にくいかもしれないので、第1回目の離陸だけを取り出して詳しく見てみる。

太い青の線がROLLで、太い緑の線がPITCHだ。それぞれの目盛りは右側に示されていて、値は度である。モーターの番号は、前が北として、北西がモーター１（細い青線）、南東がモーター２（オレンジ細線）、南西がモーター（灰色）、北東がモーター４（黄色）である。赤で囲ったところを見てみよう。ロールが正で、ピッチが負である。ロールが正なので、２と４のスロットルを上げる必要がある。一方、ピッチが負なので、２と３のスロットルを上げ、4はスロットルを落とさなければならない。結局、しっかりスロットルを上げる必要があるのは、２で、しっかり落とす必要があるのは、１という事になる。図はその通りになっている。PIDは、よく反応しているのだ。

立ち上がらないraspberrypiのネットワーク

 raspberrypiのネットワークが立ち上がらなくなってしまっていた。差し当たって必要ないのでほっておいたが、今日、いろいろ調べてみた。

結局、raspi-confgで、network Configure をdhcpcdから、networkmanagerに変更したら立ち上がるようになった。理由は、わからない。

起動しないraspberrypiの修復

 前日の終了の仕方が悪かったのか、raspberrypi が起動しなくなった。You are in emergency mode・・・・・・を限りない感じで繰り返している。

https://www.jh4vaj.com/archives/26989

このサイトを参考にした。

WindowsにいれたVirtualboxのraspberryで問題のSDカードを認識させて上記サイトの最後の方にある、e2fsckをbootではなくファイルシステムの方に実行した。全てyesで、終了させる。再度起動させたら、正常起動した。ほっと胸を撫で下ろした。

再開

 昨年の2月に、財政的な理由で一時的に作業を中断した。が、ようやく、再開できる感じになってきた。かつての自分の頭が考えていたことが、少しずつ戻ってきている。